Организация и математическое планирование эксперимента. Учебное пособие - Виталий Скляр

По сфере приложения эксперименты можно разделить на физический, технологический, психологический, социометрический, экономический и т. д.

Пример. Допустим необходимо найти зависимость между температурой посада металла в нагревательную печь и временем нагрева до требуемой температуры. В этом случае в качестве отклика выступит время нагрева, а в качестве факторов непосредственно температура посада металла в печь и расход газа (или электроэнергии). Данные факторы будут относиться к управляемым и контролируемым. К неуправляемым, но контролируемым факторам можно отнести, например, температуру поступающего воздуха для горения в печи, химический состав газ (или напряжение в сети). К неконтролируемым и неуправляемым – состояние кладки в печи и прочие тепловые потери.

Задание на самостоятельную работу

Для технических процессов получения чугуна, выплавки стали, внепечной обработки стали, непрерывной разливки металла, нагрева заготовок в методических печах прокатки листового и сортового металла, волочения, прессования, или отдельных элементов этих технологий:

1. Указать возможные виды эксперимента для изучения процесса.

2. Определить факторы процесса, указать к какой группе они относятся, предположить уровни и пределы варьирования.

3. Указать отклики эксперимента.

Контрольные вопросы для самопроверки

1.Дайте определения понятиям: эксперимент, объект исследования, предмет исследования, опыт, фактор, отклик, функция отклика.

2. Назовите и раскройте основные требования к факторам.

3. На какие группы делятся факторы, охарактеризуйте их.

4. По каким признакам выполняется классификация экспериментальных исследований? Назовите основные виды эксперимента и раскройте их сущность.

2. Случайная величина. Функции и законы распределения

§1. Понятие о случайной величине

Поскольку в ходе проведения эксперимента исследователю приходится иметь дело с неконтролируемыми и неуправляемыми факторами, а измерение контролируемых производится с некоторой погрешностью, то и результаты эксперимента будут иметь носить характер (как бы это странно не звучало на первый взгляд). Это приводит к необходимости объемной и строго регламентированной обработки экспериментальных данных с использованием методов теории вероятностей и математической статистики.

Случайная величина – это величина, которая в результате проведения опыта принимает то или иное возможное значение. Это значение будет лежать в определенном интервале и не известно заранее.

Случайные величины делятся на дискретные и непрерывные.

Дискретной называют случайную величину, которая может принимать счетное количество значений из конечного или бесконечного множества значений. Часто этими значениями выступают целые числа, которые показывают число наступивших случаев. В качестве примера дискретной случайной величины можно представить число людей в цеху. Оно не может быть меньше 0 и не может быть сильно больше чем число работающих в цеху по штату, (например – 200 человек). Таким образом в течении рабочего дня данная случайная величина будет принимать разные значения, но они будут целыми числами из определенного конечного множества и их можно будет посчитать. Множество значений может быть и бесконечным, например, если отсчитывать количество поступающий на стан заготовок без брака до первого его появления. В этом случае данное количество может быть бесконечным (теоретически брак может так и не появиться), но при этом сосчитать все эти заготовки до появления брака возможно.

Непрерывной называют случайную величину, значения которой полностью заполняют конечный или бесконечный числовой промежуток. Таким образом, непрерывная случайная величина может принимать бесконечное число значений. Примером может служить измерение температуры в печи. Интервал значений в этом случае будет конечным (например, 20…1250 °С), а вот число значений величины может быть бесконечным, с учетом количества знаков после запятой. Непрерывной случайной величиной будет и цена на металл, которая определяется рыночной ситуацией и постоянно колеблется, принимая разные значения. В этом случае пределы цены теоретически ничем не ограничены.

§2. Функция и закон распределения

Полученные в результате измерений значения случайной величины распределяются по определенному закону. Закон распределения случайной величины устанавливает связь между полученными значениями случайной величины и вероятностями их появления. Вид этого закона распределения является одной из характеристик случайной величины.

Допустим произведено n измерений случайной величины X и получены значения х1, х2 … хn. При этом если речь идет о дискретной случайной величине, то она примет определенные значения случайное число раз, обозначим это число m. Если речь идет о непрерывной случайной величине, то весь диапазон ее изменения разбивается на несколько интервалов и подсчитывается количество попаданий в каждый из интервалов. Вероятность того что дискретная величина примет какое-либо значение (или попадет в определенный интервал) в этом случае будет:

где m – число наблюдений, в которых дискретная случайная величина X оказалась равна x; n – общее количество наблюдений.

Сумма вероятностей всех возможных значений дискретной случайной величины (или попаданий во все интервалы для непрерывной) равна единице.

Для оценки распределения случайной величины используют функцию распределения и плотность распределения.

Функция распределения F (x) – это интегральная функция, которая показывает вероятность того, что случайная величина Х принимает значение не больше, чем х:

Функция распределения должна иметь возрастающий характер.

Плотность распределения f (x) – это дифференциальная функция – производная функции распределения, которая определяется как:

Для правильной обработки экспериментальных данных необходимо знать закон распределения, однако для его точного определения необходимо обработать большой объем экспериментальной информации.

Пример. На предприятии выпускается проволока различных диаметров. Отдел товарного контроля производит периодические замеры диаметра готовой проволоки. Результаты измерения (всего 50) проволоки диаметром 3,6 мм находятся в таблице 2.1. Значения диаметра проволоки отличаются друг от друга из-за того, что проволока производится в пределах допусков и диаметр может отличаться как в большую, так и в меньшую сторону и это не является нарушением технологии, также на результаты может влиять погрешность измерений.

Таблица 2.1 – Результаты замеров

Дальнейшую обработку данных ведем по следующей методике.

Для удобства необходимо отсортировать данные по порядку от большего к меньшему – таблица 2.2.

Для непрерывной случайной величины задают вероятность ее попадания в один из заданных интервалов области ее определения (поскольку вероятность того, что она примет какое-либо конкретное свое значение, стремится к нулю).

Таблица 2.2 – Упорядоченная таблица результатов замеров

Количество интервалов определяют по формуле

где n – количество измерений.

В качестве количества интервалов принимаем большее нечетное число – 7.

По таблице 2.2 определяем наибольшее и наименьшее значение хmin = 3,4, хmax = 3,8, диапазон изменений (размах) случайной величины Lx = 3,8 – 3,4 = 0,4. Тогда продолжительность каждого из семи интервалов Δх = 0,4/7 = 0,057. Значение продолжительности интервала достаточно округлить на порядок больший, чем точность измерений случайной величины.

Таким образом, получим семь интервалов, границы которых приведены в таблице 2.3.

Теперь подсчитаем сколько раз случайная величина попала в каждый из интервалов, обозначим это значение – m, и частотную вероятность попадания в каждый интервал по формуле 2.1.

Например в интервал 3,4…3,457 попадает всего два значения из таблицы 2.2 – это 3,4 и 3,45, частотная вероятность в этом случае будет: р = 2/50 = 0,04, результаты для остальных интервалов приведены в таблице 2.3. Сумма всех вероятностей должна быть равна единице.

Для построения функции распределения необходимо определить сумму всех вероятностей с начала интервала до требуемого значения. Т.е. ее значение для второго интервала 0,04+0,08 = 0,12, для третьего 0,04+0,08+0,14 = 0,26 и т. д. Последнее значение всегда должно быть равно 1. График интегрального закона распределения (функции распределения) приведен на рисунке 2.1.